1. What is Arrow’s Impossibility Theorem?
Arrow Impossibility Theorem सामूहिक निर्णय और कल्याणकारी अर्थशास्त्र के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण गणितीय खोज है। अर्थशास्त्र का एक क्षेत्र अध्ययन करता है कि सामूहिक स्तर पर निर्णय कैसे लिये जाते हैं। इस सिद्धांत का मतदान सहित लोकतांत्रिक प्रक्रियाओं पर संभावित रूप से महत्वपूर्ण प्रभाव है।
Arrow Impossibility Theorem के अनुसार, एक उचित रैंक-वोटिंग चुनाव प्रणाली से व्यक्तिगत विकल्पों को प्राथमिकताओं की स्पष्ट समुदाय-व्यापी रैंकिंग में अनुवाद करना असंभव है। सामान्य संभावना प्रमेय, जिसे कभी-कभी “एरो पैराडॉक्स” के रूप में जाना जाता है, सामाजिक निर्णयों में अनुसंधान है। कल्याण कार्यक्रमों के सिद्धांत में एक समस्या, अर्थशास्त्री केनेथ एरो का एक निबंध दर्शाता है कि यहीं से इसे इसका नाम मिलता है।
2. Major Points
- Arrow Impossibility Theorem के अनुसार, मतदान पद्धति बनाने की बहुत कम संभावना वह है जहां किसी व्यक्ति की राय समाज की प्राथमिकता को प्रतिबिंबित करेगी।
- यह इस बात पर जोर देता है कि ईमानदार मतदान प्रक्रियाओं के लिए बुनियादी दिशानिर्देशों का पालन करने के बाद भी एक निश्चित वरीयता क्रम को परिभाषित करना असंभव है।
- ईमानदार और उचित मतदान के लिए पाँच आवश्यकताएँ – कोई तानाशाही नहीं, पेरेटो दक्षता, अप्रासंगिक विकल्पों की स्वतंत्रता, असीमित डोमेन और सामाजिक व्यवस्था – पूरी होनी चाहिए।
- यह प्रमेय किसी भी मतदान प्रक्रिया की खामियों की ओर भी इशारा कर सकता है।
3. Arrow’s Impossibility Theorem Explained
Arrow Impossibility Theorem के अनुसार, विकल्पों के एक विशेष समूह से किसी व्यक्ति की व्यवस्था के निर्णय की कोई भी वैध प्रोफ़ाइल सामाजिक कल्याण कारक से आदेश की सामाजिक प्राथमिकता प्राप्त करती है। परिणामस्वरूप, ऐसे सामाजिक कल्याण का निर्माण करना कठिन है जो समाज बनाने वाले प्रत्येक व्यक्ति की प्राथमिकताओं का प्रतिनिधित्व करता हो।
परिणामस्वरूप, यह दावा करता है कि सामाजिक परिवर्तन लाने के लिए व्यक्तिगत प्राथमिकताओं को सामूहिक विकल्प में संयोजित करने के लिए वैध लोकतांत्रिक प्रक्रियाओं को स्थापित करना चुनौतीपूर्ण है।
सार्वभौमिक असंभवता प्रमेय या एरो की सामाजिक चयन अवधारणा असंभवता प्रमेय के अन्य नाम हैं। प्रमेय में अर्थशास्त्री और नोबेल पुरस्कार विजेता केनेथ एरो का नाम है। 1951 में, उन्होंने एक पेपर में इस विचार को सामने रखा जो बाद में सोशल चॉइस एंड इंडिविजुअल वैल्यूज़ पुस्तक बन गया। पुस्तक दर्शाती है कि मतदान या चुनाव समग्र रूप से समाज को कैसे प्रभावित करते हैं।
समग्र रूप से समाज की पसंद को प्रतिबिंबित करने के लिए, यह प्रमेय सबसे पहले मतदान प्रक्रियाओं के लिए एक उपयुक्त मानक स्थापित करता है।
इसलिए, उपरोक्त परिस्थितियों के परिणामस्वरूप या तो अनुचित टीम निर्णय हो सकता है या, अधिक सरलता से, एक अलोकतांत्रिक निष्कर्ष हो सकता है। इस वजह से, कल्याणकारी अर्थशास्त्र और Arrow Impossibility Theorem पर चर्चा करते समय इसे अक्सर तानाशाह प्रमेय के रूप में संदर्भित किया जाता है।
इस प्रमेय में, एक सुगम्य व्यवस्था को सकर्मक के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि एक अतार्किक व्यवस्था को अकर्मक के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, यदि सेब आपके पसंदीदा फल हैं, तो संतरे और केले आपके सबसे कम पसंदीदा हैं।
अतः यह आदेश हस्तांतरणीय है। इसलिए, सबसे अच्छे से सबसे कम पसंदीदा तीन फलों का ऑर्डर करते समय, व्यक्ति को निम्नलिखित प्राप्त होता है, जिसे एक अकर्मक प्राथमिकता के रूप में जाना जाता है: वह सेब को संतरे, संतरे को केले, और केले को सेब को प्राथमिकता देता है।
4. Arrow’s Impossibility Five Theorem Criteria
एरो ने एक मतदान चयन पद्धति को डिज़ाइन करने का प्रयास किया जो निष्पक्ष, विश्वसनीय और अधिक परिवर्तनशील होगी। निष्पक्ष मतदान सुनिश्चित करने के लिए, एरो ने पाँच मानदंड विकसित किए। उनमें से कुछ यहां हैं:
1. गैर तानाशाही
2. अप्रासंगिक विकल्पों की स्वतंत्रता
3. पेरेटो दक्षता
4. अप्रतिबंधित डोमेन और
5. सामाजिक व्यवस्था
प्रमेय के अनुसार, नीचे दी गई पाँच शर्तों को नज़रअंदाज़ करके परिपत्र प्राथमिकताएँ या अकर्मक मतदान स्थापित करना असंभव है। यहां तक कि 50% मतदाता भी देश का राष्ट्रपति चुन सकते हैं। एरो की असंभवता प्रमेय के प्रमाण के रूप में, कोई 1992 के अमेरिकी राष्ट्रपति चुनावों का उपयोग कर सकता है, जिसमें बिल क्लिंटन केवल 43% जनता के वोट के साथ जीते थे। रॉस पेरोट को 19% वोट मिले और जॉर्ज डब्लू. बुश को 38% वोट मिले।
5. Arrow’s Impossibility Theorem Conditions
जैसा कि पहले ही स्थापित किया गया था, कुछ हद तक निष्पक्ष मतदान प्रक्रिया के लिए कई आवश्यकताएं (या मानदंड) हैं। इसमें सामाजिक व्यवस्था, पेरेटो दक्षता, अप्रतिबंधित डोमेन, अप्रासंगिक विकल्पों से स्वतंत्रता और गैर-तानाशाही शासन शामिल है।
5.1 Non-dictatorship
गैर-तानाशाही व्यवस्था में, एक मतदाता पूरे समाज की प्राथमिकताओं को प्रतिबिंबित नहीं कर सकता। इसलिए, सामाजिक कल्याण के उद्देश्य को असंख्य मतदाताओं की प्राथमिकताओं पर विचार करना चाहिए।
5.2 Unrestricted Domains
एक अप्रतिबंधित डोमेन के लिए कुल मतदाता वरीयता गणना की आवश्यकता होती है, जिसके परिणामस्वरूप एक व्यापक सामाजिक वरीयता स्कोर प्राप्त होता है।
5.3 Independence of Irrelevant Alternatives (IIA)
अप्रासंगिक विकल्पों की स्वतंत्रता मानदंड यह निर्धारित करता है कि जब भी व्यक्तियों की किसी उपसमूह के निरर्थक विकल्पों की रैंकिंग में बदलाव होता है तो किसी उपसमूह की सामाजिक रैंकिंग प्रभावित नहीं होनी चाहिए।
यह उदाहरण उपरोक्त अनुभाग के मानदंडों को तोड़ता है। जब भी IIA आवश्यकता को पूरा करने के लिए विकल्प Y को हटा दिया जाता है, तो परिणाम वही रहना चाहिए (विकल्प X को अभी भी सामाजिक रूप से विकल्प Z से ऊपर महत्व दिया जाना चाहिए।
5.4 Social ordering
सामाजिक व्यवस्था के मानदंडों को पूरा करने के लिए मतदाताओं को अपने विकल्पों को अच्छे से बुरे तक, एक जुड़े हुए और परिवर्तनीय तरीके से रैंक करने में सक्षम होना चाहिए।
5.5 Pareto Efficiency
पेरेटो दक्षता के लिए लोगों की सर्वसम्मत पसंद का सम्मान किया जाना चाहिए। यदि प्रत्येक मतदाता दूसरे विकल्पों में से किसी एक को पसंद करता है, तो सामाजिक प्राथमिकताओं का क्रम व्यक्तिगत प्राथमिकताओं के साथ मेल खाना चाहिए। परिणाम प्राथमिकताओं की रूपरेखा पर निर्भर नहीं होना चाहिए।
6. Example Arrow’s Impossibility Theorem
प्रमेय को समझने के लिए किसी को एरो की असंभवता प्रमेय उदाहरण की जांच करनी चाहिए।
मान लीजिए कि स्टारबक्स तीन अलग-अलग प्रकार की कॉफी बेचता है: ए, बी, और सी। डेविड, डायना और ब्रायन तीन हैं जिन्हें कई स्टारबक्स कॉफी स्वादों के लिए अपने पसंदीदा ऑर्डर सूचीबद्ध करने के लिए चुना गया है।
इन लोगों को अपने निर्णय के साथ-साथ कॉफ़ी के प्रकारों की रैंकिंग भी बतानी होगी। इसके बाद वे व्यक्तिगत पसंद के आधार पर अपने चयन को सर्वश्रेष्ठ से सबसे खराब श्रेणी में रख सकते हैं।
कुछ समय बाद, डेविड, डायना और ब्रायन ने निम्नलिखित क्रम में अपनी रैंकिंग प्रस्तुत की:
डेविड – एबीसी
डायना – बीसीए
ब्रायन- CAB
परिणाम को इस प्रकार समझाया जा सकता है:
डेविड ए के मुकाबले बी और सी दोनों को पसंद करते हैं। डायना ए के मुकाबले सी को और बी को सी को पसंद करती है। ब्रायन को ए के मुकाबले सी पसंद है और बी को ए के मुकाबले। इसका मतलब है कि 1/3 को ए>बी>सी पसंद है, 1/3 को बी> पसंद है। C>A, और 1/3 C>A>B को पसंद करते हैं।
अन्यथा डालो,
2/3 बी की तुलना में ए को प्राथमिकता देते हैं
2/3 C से अधिक B को प्राथमिकता देते हैं; और
2/3 कवर ए पसंद करते हैं
परिणामस्वरूप, एक विरोधाभास है जिसके तहत दो-तिहाई बहुमत बी के ऊपर ए, सी के ऊपर बी, और ए के ऊपर सी को चुनते हैं। परिणामस्वरूप, वरीयता के क्रम में तीन विकल्पों, ए, बी और सी को रैंकिंग करते समय , केनेथ एरो की असंभवता थीसिस की आवश्यकताओं में से एक टूट गई है।
7. Cardinal Voting vs. Ranked Voting
केवल रैंक किए गए Arrow Impossibility Theorem में मतदान प्रणाली शामिल है; कार्डिनल वोटिंग सिस्टम शामिल नहीं हैं। मतदाता क्रमवार पैमाने पर अपने चयन का मूल्यांकन करते हैं और रैंक वाले चुनावों में मतदान करते समय रैंक किए गए मतपत्र जमा करते हैं। कार्डिनल मतपत्र का उपयोग करते समय मतदाता प्रत्येक विकल्प को स्वतंत्र रूप से रेटिंग दे सकते हैं।
कार्डिनल वोटिंग में, विकल्पों को संख्यात्मक अंक दिए जा सकते हैं। कार्डिनल वोटिंग रैंक वाली वोटिंग की तुलना में अधिक डेटा प्रदान करती है, जिससे कार्डिनल-वोटिंग प्रणाली को व्यक्तिगत वरीयता रैंकिंग को सामाजिक प्राथमिकता रैंकिंग में अनुवाद करने की अनुमति मिलती है।
8. “Ways Out” of Arrow’s Impossibility Theorem
कुछ असफल प्रयासों ने असंभवता प्रमेय को दरकिनार कर दिया है और विकल्पों पर विचार किया है। इन सिरों को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है।
उनमें से एक में ऐसे तरीके शामिल हैं जो प्रत्येक प्राथमिकता प्रोफ़ाइल को पूरक या सामाजिक प्राथमिकता में परिवर्तित करते हैं। रणनीतियों का उद्देश्य निष्पक्ष चुनावी प्रक्रिया के लिए एक या अधिक आवश्यकताओं को कमजोर करना या हटाना है। जोड़ीवार मतदान, जो केवल दो विकल्पों की अनुमति देता है, एक उदाहरण है।
विभिन्न नियमों पर गौर करने वाली तकनीकें दूसरी श्रेणी में आती हैं। उदाहरण के लिए, एक चुनावी पद्धति जो अधिक डेटा प्रसारित करती है वह एक कार्डिनल वोटिंग प्रणाली है। नतीजतन, कार्डिनल उपयोगिता को सामाजिक कल्याण का अधिक भरोसेमंद संकेतक माना जाता है।
Conclusion
Arrow Impossibility Theorem के रूप में जानी जाने वाली एक सामाजिक पसंद दुविधा, रैंक वाली वोटिंग प्रणालियों की कमियों पर प्रकाश डालती है। इसका दावा है कि निष्पक्ष मतदान प्रक्रियाओं के आवश्यक नियमों का पालन करने से प्राथमिकताओं का एक निश्चित क्रम स्थापित होने से रोका जा सकेगा। व्यापक असंभवता प्रमेय एरो की असंभवता प्रमेय के लिए एक और शब्द है, जिस पर एक अर्थशास्त्री के रूप में केनेथ जे. एरो का नाम अंकित है।
